さて、手の出し方は３^ｎになるのは、分かると思います。理由（←クリック）

問題は、決着がつく場合の数です。
６，１８，４２と続く数字の法則をかんがえます。
そのために、２人のじゃんけんパターンに３人目が加わったと考えていくと、
先が見えて来ました。

２人の決着パターン（黒字）に３人目（青字）を加えて、決着がつくパターンを考えます。
　　グ−チ−（グorチ）
　　グ−パ−（グorパ）　　　　　※このように、１人少ない場合の決着パターンに、
　　チ−グ−（チorグ）　　　　　　すでに出されている手を出せば、決着しますね。
　　チ−パ−（チorパ）
　　パ−グ−（パorグ）
　　パ−チ−（パorチ）
また、２人のあいこパターン（黒字）に３人目（青字）を加えても、決着パターンが出来ます。
　　グ−グ−（チorパ）
　　チ−チ−（グorパ）　　　　　※このように、１人少ない場合の
　　パ−パ−（グorチ）　　　　　　全員同じものを出すあいこパターンに、
　　　　　　　　　　　　　　　　　それと違う手を出せば、決着しますね。

　　「１人少ない決着がつく場合の数」＊２＋「全員同じ手を出したあいこ」＊２
　＝「１人少ない決着がつく場合の数」＊２＋６

少し格好いい式（漸化式）で、
　ｎ人の決着がつく場合の数を、数列｛ａ_ｎ｝と考えると、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ_ｋ＝２ａ_ｋ−１＋６　　
また、ａ_１＝０とすれば、上の漸化式はｋ≧２で成り立ちます。

この漸化式から、一般項ａ_ｎは、
　　　　ａ_ｎ＝３･２^ｎ−６　　　となります。　　※途中計算は？（←クリック）

よって、ｎ人じゃんけんでの決着がつく場合の数は　　３･２^ｎ−６　通り

ｎ人のじゃんけんで、
　　　　手の出し方は　　３^ｎ　通り
　　　　決着がつく場合は　そのうちの　３・２^ｎ−６　通り

よって、
ｎ人のじゃんけんで、決着がつく確率は、　　　(3･2^ｎ−６)／３^ｎ