漸化式から、一般項を求める。

　　　　漸化式は　ａ１＝０，
　　　　ｋ≧２のとき、ａｋ＝２ａｋ−１＋６　　　　　でした。
　　　　　　　　　　　↓　　↓　　　↓
　　　　特性方程式　　α＝２α　＋　６　　　　　を解いて、
　　　　　　　　　　　α＝−６

　　　　よって　　ａｋ−(−６)＝２{ａｋ−１−(−６)｝　　
　　　　つまり　　　　ａｋ＋６＝２(ａｋ−１＋６)　　　　です。

　　　　この式は、数列｛ａｎ＋６｝は、公比２の等比数列であることを表し、
　　　　　　　　　初項は、ａ１＋６＝０＋６＝６　となります。

　　　　よって数列｛ａｎ＋６｝の一般項　ａｎ＋６は、
　　　　　　　　　　　　　　ａｎ＋６＝６・２ｎ−１　　　です。

　　　　この式から、ａｎを求めると、
　　　　　　　　　　　　　　ａｎ＝6･2ｎ−１−６
　　　　　　　　　　　　　　ａｎ＝3･2･2ｎ−１−６
　　　　　　　　　　　　　　ａｎ＝3･2ｎ−６　　　　　となります。

　　　違う考え方

０，６，１８，４２，９０……　　　　を｛ａｎ｝とします。

階差数列｛ｂｎ｝を考えると、６，１２，２４，４８……になりますので、
　　｛ｂｎ｝は初項６、公比２の等比数列。

　　　　　等比数列の和の公式　Ｓｎ＝ａ(ｒｎ−１)／(ｒ−１)　を利用します。

　よって、ａｎ＝ａ１＋（ｂ１＋ｂ２＋……＋ｂｎ−１）　ですから、
　　　　　ａｎ＝０＋６(２ｎ−１−１)／(２−１)
　　　　　　＝６･(２ｎ−１−１)
　　　　　　＝６･２ｎ−１−６
　　　　　　＝３･２ｎ−６　　　となります。

　

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