席替えをしても変わらない人がいる確率３

席替えをしても変わらない人がいる確率(３)

席替えをしても、変わらない人がいる確率の続きです。

４　私の考え方－２

計算を続けて表を増やしていくと、ある法則に気づきました。

上のように数列｛ａ_ｎ｝｛ｂ_ｎ｝を考えると、
以下の漸化式が成り立ちそうです。

ａ_１＝１
ｋ≧２のとき、ａ_ｋ＝ｋａ_ｋ－１－(－１)^ｋ

ｂ_１＝０
ｋ≧２のとき、ｂ_ｋ＝ｋｂ_ｋ－１＋(－１)^ｋ

なぜなのか分かりません。
K1feb15には証明できませんが、ｎ＝４０まで確認しました。

また、以下のような漸化式も成り立ちそうです。

ａ_１＝１，ａ_２＝１
ｋ≧３のとき、ａ_ｋ＝(ａ_ｋ－１＋ａ_ｋ－２)(ｋ－１)

ｂ_１＝０，ｂ_２＝１
ｋ≧３のとき、ｂ_ｋ＝(ｂ_ｋ－１＋ｂ_ｋ－２)(ｋ－１)

これもなぜか分かりません。

どなたか、明白な証明をしてくれませんか。
あと、｛ａ_ｎ｝｛ｂ_ｎ｝の一般項を求めて欲しいのですが。